体 (数学)

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代数学において体（たい、field, körper, corps）は、四則演算の自由にできる代数的構造を備えた集合のことである。

たとえば、自然数（の全体の成す集合）からはじめて、その中で四則演算が自由にできるように数の拡張を施すことで有理数（全体の成す集合）が得られる。他に、実数や複素数の全体が成す集合などが体の代表的な例である。体をアルファベットで表すときは、K を用いる慣例がある。これは体がドイツ語 "körper" の訳語だからであり、英語の "field" の頭文字をとって F が用いられることもある。

[編集] 定義

（必ずしも可換でない）体とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの二項演算によって定まる代数的構造のことである。以下、台集合 K に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果（積） a × b は ab と略記する。

K は加法に関してアーベル群である：
- a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a + (b + c) = (a + b) + c が成り立つ。
- a + 0_K = 0_K + a = a が K の元 a の取り方に依らずに満たされる零元と呼ばれる特別な元 0_K が存在する。
- a が K の元ならばそれに対して a + (−a) = (−a) + a = 0_K を満たす、マイナス元と呼ばれる元 −a が常に存在する。
- 交換法則が成り立つ。つまり K のどんな元 a, b についても、 a + b = b + a となる。
K は乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が群をなす：
- a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a(bc) = (ab)c が成り立つ。
- a1_K = 1_Ka = a が K の零元 0_K でない元 a の取り方に依らずに満たされる単位元と呼ばれる特別な元 1_K が存在する。
- a が零元 0_K でない K の元ならばそれに対して aa⁻¹ = a⁻¹a = 1_K を満たす、逆元と呼ばれる元 a⁻¹ が常に存在する。
乗法は加法に対して分配的である： a, b, c を K の任意の元とするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成り立つ。

また、この条件を満たす代数的構造を備えた代数系 (K, +, 0_K, ×, 1_K) あるいは省略して単に集合 K は「体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、自明な体と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は

1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。

なる条件を加える。さらにもう一つ、乗法の可換性に関する条件

K のどんな元 a, b についても、 ab = ba が満たされる。

を加えるとき K を可換体と呼び、可換性が満たされない元を K が持つとき非可換体と呼ぶ。また一つの代数系 K に対してではなく、代数的構造の分類としてもこれらの用語を用いる。分類としての明確化のために、可換体・非可換体の両者をあわせて「必ずしも可換でない体」という用語を用いることがある。本項では便宜上「必ずしも可換でない体」を単に「体」と呼称する。一方、「体論」「体の理論」などと呼ぶときの「体」は多くは可換体を意味すると思って差し支えない。

単に「体」とよぶとき、その意味するものにはいくつかの流儀が存在する。たとえば、可換である体を単に「体」 (field) と呼び、非可換なものを含めてよぶときは多元体あるいは可除環（かじょかん、division ring, division algebra）あるいは斜体（しゃたい、skew field）と呼ぶのはイギリス流（英語圏）である。一方（ヨーロッパ）大陸流（ドイツ、フランス語圏）では、必ずしも可換でない体を単に「体」 (körper, corps) とよび、可換であるときを特に可換体 (kommutativ körper, corps commutatif) とよぶ。ただし、歴史的経緯はどうあれ時代が下るにつれ英語圏の流儀に合わせる傾向は見られる。

またいずれの流儀においても、文脈に応じて「可換」「必ずしも可換とは限らない」「非可換」などを冠することで明示的にこれらの概念を区別することがある。これらの区分のうち「非可換」なものの指すべき範疇は文脈にまったく依存するものであることには留意が必要である。たとえば「斜体」と呼ぶとき、それが可換体を含むのか含まないのかは文脈を踏まえなければ定かではないし、「非可換体」が可換体を含む意味で用いられることもある。

[編集] 例

有理数の全体 Q は可換体である。
実数の全体 R や複素数の全体 C も可換体である。
四元数の全体 H は非可換体である。
{0, 1} に、

加法
+	0	1
0	0	1
1	1	0

乗法
*	0	1
0	0	0
1	0	1

のように、演算を定義すると、これは体になっている。この体を F₂ と書く。一見つまらない例のように見えるかもしれないが、この体は符号理論などに応用を持っている。

p を素数とするとき、集合 {0, 1, ..., p − 1} に演算を定義して体にすることが出来る。この体を F_p , Z/pZ または GF(p) などと書く。

[編集] 諸概念

体 K が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群とみたときの代数系 (K, +) を体 K の加法群と呼ぶ。加法群を K⁺ や G_a(K) と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、0 を除く K の元の全体 K^* に乗法を与えて得られる代数系 (K^*, ×) は群であり、乗法群と呼ばれる。K の乗法群をしばしば K^× あるいは G_m(K) と記す。可換体 F の乗法群 F^× の乗法に関する有限な部分群は巡回群になる。

体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限体は常に可換体である（ウェダバーンの定理）。

n1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n1 = 0 となるような n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。

体は 0 以外の元が全て可逆となる単位的環である。したがって、そのイデアルや部分環の概念を考えることができるが、体は自明でない両側イデアルを持たない（これを体は単純環であるという）。体の単位的環としての部分環がふたたび体をなすとき、部分体という。

体 K, L とその間の写像 f: K → L が与えられたとき、f が体の準同型であるとは、単位的環としての準同型であることをいう。つまり、体準同型 f は K の任意の元 a, b および、K, L それぞれの単位元 1_K, 1_L に対して

f (a + b) = f (a) + f (b)

f (a b) = f (a) f (b)

f (1 K) = 1 L

を全て満たす。また、その像 Im(f) = {f(x) | x ∈ K} は L の部分体となり、核 Ker(f) = {x ∈ K | f(x) = 0_L} は K の両側イデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元にうつることはないこととから、体の準同型は必ず単射になる。したがって、体の準同型 f: K → L の像 Im(f) は K に体として同型である。これを中への同型とよび、さらに f が全射であるとき上への同型であるという。